[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Ponadto, dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:(T6) A )" B �" A,(T7) A )" B �" B,(T8) A �" B '" A �" C �! A �" B )" C,(T9) A �" B '" C �" D �! A )" C �" B )" D,(T10) A �" B �! A )" B = A.Dowiedzmy tylko (T10).DOW�DOgraniczmy się do dowodu tego, żeA )" B = A �! A �" B.Niech1.A )" B = A.Z 1 na podstawie definicji równości zbiorów:2.x " (A )" B) �! x " A.Z definicji przecięcia zbiorów: 282 5.ALGEBRA ZBIOR�W3.x " (A )" B) �! (x " A '" x " B).Z 2 i 3 mamy:4.(x " A '" x " B) �! x " A.Tezą rachunku logicznego jest:5.[(x " A '" x " B) �! x " A] �! (x " A �! x " B).Z 4 i 5 dostajemy:6.x " A �! x " B.Z definicji zawierania się zbiorów i 6:7.A �" B.O dwóch zbiorach A i B mówimy, że są rozłączne, A �"�" B, wtedyitylko wtedy, gdy żaden element jednego ze zbiorów nie jest elementemdrugiego, czyli:(DEF.�"�") (A �"�" B) �!�"x.(x " A '" x " B).Zauważmy, że:(A �"�" B) �! (A )" B = ").5.4.4.Różnica i różnica symetryczna zbiorówRóżnicą zbiorów A i B jest zbiór A \ B, którego elementami sąwszystkie i tylko te elementyzbioru A, które nie są elementami zbioruB:(DEF.\) (A \ B) ={x "X : x " A '"�x " B}.W sposób równoważny możemy to wyrazić:"x.[x " (A \ B) �! (x " A) '"�(x " B)].Symbol \ to dwurgumentowa litera funkcyjna.Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:(T1) A \ B �" A,(T2) A �" B '" C �" D �! A \ D �" B \ C,(T3) C �" D �! A \ D �" A \ C,(T4) A �" B �! A \ B = ". 5.4.OPERACJE NA ZBIORACH 283.Różnicą symetryczną zbiorów A i B jest zbiór A B, którego ele-mentami są wszystkie i tylko te elementy zbioru A, które nie są ele-mentami zbioru B oraz wszystkie i tylko te elementy zbioru B, którenie są elementami zbioru A:.(DEF.) (A B) =[x "X : (x " A '"�x " B) (" (�x " A '" x " B)].Równoważnie możemy to zapisać:."x.[x " (A B) �! (x " A '"�x " B) (" (�x " A '" x " B)].Symbol to dwuargumentowa litera funkcyjna.Zauważmy, że.(A B) =(B A).5.4.5.Związki między działaniami teoriomnogościo-wymiOperacja dopełnienia pozostaje w następujących związkach z in-nymi działaniami teoriomnogościowymi.160Dla dowolnego zbioru A i przestrzeni X :(T1) -A = X \ A,(T2) A *"-A = X ,(T3) A )"-A = ".Dla dowolnych zbiorów A i B:(T4) -(A *" B) =-A )"-B,(T5) -(A )" B) =-A *"-B,(T6) A \ B = A )"-B,(T7) A \ B = -(-A *" B).Równości (T4) i (T5) to prawa De Morgana (rachunku zbiorów).Dla dowolnych zbiorów A, B i przestrzeni X :(T8) A �" B �! A )"-B = ",(T9) A �" B �!-A *" B = X.160Twierdzenia T2 i T3 można by nazwać, odpowiednio, teoriomnogościowymprawem wyłączonego środka i teoriomnogościowym prawem (nie)sprzeczności.Ist-nieje ścisły związek między tymi (i innymi) prawami rachunku zbiorów a odpo-wiednimi prawami rachunku zdań: odrzucenie tych drugich wiąże się z zakwestio-nowaniem tych pierwszych. 284 5.ALGEBRA ZBIOR�WNastępujące prawa ustalają związki między dodawaniem a mno-żeniem zbiorów.Dla dowolnych zbiorów A, B i C:(T10) A )" (A *" B) =A,(T11) (A )" B) *" B = B,(T12) A )" (B *" C) =(A )" B) *" (A )" C),(T13) A *" (B )" C) =(A *" B) )" (A *" C).Równości (T10) i (T11) to prawa absorpcji (pochłaniania).Rów-ność (T12) to prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia.Równość (T13) to prawo rozdzielności mnożenia względem dodawa-nia.Związki między różnicą a sumą określają następujące prawa.Dla dowolnych zbiorów A i B:(T14) A *" (B \ A) =A *" B,(T15) A �" B �! A *" (B \ A) =B.Kolejne prawo pozwala określić przecięcie za pomocą różnicy.Dla dowolnych zbiorów A i B:(T16) A \ (A \ B) =A )" B.Między różnicą a dodawaniem i mnożeniem zbiorów zachodząnastępujące związki.Dla dowolnych zbiorów A, B, C:(T17) A \ (B *" C) =(A \ B) )" (A \ C),(T18) A \ (B )" C) =(A \ B) *" (A \ C).Równości (T17) i (T18) to prawa De Morgana (dla różnicy).Można postawić pytanie, ile daje się uzyskać zbiorów z danych nzbiorów stosując do nich operacje dodawania, mnożenia i odejmowa-nnia.Dowodzi się, że jest to liczba skończona i wynosi 22 161.5.4.6.Uogólnione suma i przecięcie zbiorów161Zob.Kuratowski, Mostowski [1978] s.39. 5.4.OPERACJE NA ZBIORACH 285Dotychczas omawialiśmy działania teoriomnogościowe na skoń-czonej liczbie zbiorów.Sumę i przecięcie można uogólnić na dowolnąrodzinę zbiorów.Niech X będzie niepustą przestrzenią (X = ").Niech (At)t"T bę-dzie rodziną podzbiorów przestrzeni X , gdzie T jest zbiorem (indek-sów).PRZYKAADNiech przestrzenią będzie zbiór liczb naturalnych N.Niech T bę-dzie zbiorem {1, 2, 3, 4, 5}.Niech(At)t"T = {n " N : t [ Pobierz całość w formacie PDF ]
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl centka.pev.pl
.Ponadto, dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:(T6) A )" B �" A,(T7) A )" B �" B,(T8) A �" B '" A �" C �! A �" B )" C,(T9) A �" B '" C �" D �! A )" C �" B )" D,(T10) A �" B �! A )" B = A.Dowiedzmy tylko (T10).DOW�DOgraniczmy się do dowodu tego, żeA )" B = A �! A �" B.Niech1.A )" B = A.Z 1 na podstawie definicji równości zbiorów:2.x " (A )" B) �! x " A.Z definicji przecięcia zbiorów: 282 5.ALGEBRA ZBIOR�W3.x " (A )" B) �! (x " A '" x " B).Z 2 i 3 mamy:4.(x " A '" x " B) �! x " A.Tezą rachunku logicznego jest:5.[(x " A '" x " B) �! x " A] �! (x " A �! x " B).Z 4 i 5 dostajemy:6.x " A �! x " B.Z definicji zawierania się zbiorów i 6:7.A �" B.O dwóch zbiorach A i B mówimy, że są rozłączne, A �"�" B, wtedyitylko wtedy, gdy żaden element jednego ze zbiorów nie jest elementemdrugiego, czyli:(DEF.�"�") (A �"�" B) �!�"x.(x " A '" x " B).Zauważmy, że:(A �"�" B) �! (A )" B = ").5.4.4.Różnica i różnica symetryczna zbiorówRóżnicą zbiorów A i B jest zbiór A \ B, którego elementami sąwszystkie i tylko te elementyzbioru A, które nie są elementami zbioruB:(DEF.\) (A \ B) ={x "X : x " A '"�x " B}.W sposób równoważny możemy to wyrazić:"x.[x " (A \ B) �! (x " A) '"�(x " B)].Symbol \ to dwurgumentowa litera funkcyjna.Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:(T1) A \ B �" A,(T2) A �" B '" C �" D �! A \ D �" B \ C,(T3) C �" D �! A \ D �" A \ C,(T4) A �" B �! A \ B = ". 5.4.OPERACJE NA ZBIORACH 283.Różnicą symetryczną zbiorów A i B jest zbiór A B, którego ele-mentami są wszystkie i tylko te elementy zbioru A, które nie są ele-mentami zbioru B oraz wszystkie i tylko te elementy zbioru B, którenie są elementami zbioru A:.(DEF.) (A B) =[x "X : (x " A '"�x " B) (" (�x " A '" x " B)].Równoważnie możemy to zapisać:."x.[x " (A B) �! (x " A '"�x " B) (" (�x " A '" x " B)].Symbol to dwuargumentowa litera funkcyjna.Zauważmy, że.(A B) =(B A).5.4.5.Związki między działaniami teoriomnogościo-wymiOperacja dopełnienia pozostaje w następujących związkach z in-nymi działaniami teoriomnogościowymi.160Dla dowolnego zbioru A i przestrzeni X :(T1) -A = X \ A,(T2) A *"-A = X ,(T3) A )"-A = ".Dla dowolnych zbiorów A i B:(T4) -(A *" B) =-A )"-B,(T5) -(A )" B) =-A *"-B,(T6) A \ B = A )"-B,(T7) A \ B = -(-A *" B).Równości (T4) i (T5) to prawa De Morgana (rachunku zbiorów).Dla dowolnych zbiorów A, B i przestrzeni X :(T8) A �" B �! A )"-B = ",(T9) A �" B �!-A *" B = X.160Twierdzenia T2 i T3 można by nazwać, odpowiednio, teoriomnogościowymprawem wyłączonego środka i teoriomnogościowym prawem (nie)sprzeczności.Ist-nieje ścisły związek między tymi (i innymi) prawami rachunku zbiorów a odpo-wiednimi prawami rachunku zdań: odrzucenie tych drugich wiąże się z zakwestio-nowaniem tych pierwszych. 284 5.ALGEBRA ZBIOR�WNastępujące prawa ustalają związki między dodawaniem a mno-żeniem zbiorów.Dla dowolnych zbiorów A, B i C:(T10) A )" (A *" B) =A,(T11) (A )" B) *" B = B,(T12) A )" (B *" C) =(A )" B) *" (A )" C),(T13) A *" (B )" C) =(A *" B) )" (A *" C).Równości (T10) i (T11) to prawa absorpcji (pochłaniania).Rów-ność (T12) to prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia.Równość (T13) to prawo rozdzielności mnożenia względem dodawa-nia.Związki między różnicą a sumą określają następujące prawa.Dla dowolnych zbiorów A i B:(T14) A *" (B \ A) =A *" B,(T15) A �" B �! A *" (B \ A) =B.Kolejne prawo pozwala określić przecięcie za pomocą różnicy.Dla dowolnych zbiorów A i B:(T16) A \ (A \ B) =A )" B.Między różnicą a dodawaniem i mnożeniem zbiorów zachodząnastępujące związki.Dla dowolnych zbiorów A, B, C:(T17) A \ (B *" C) =(A \ B) )" (A \ C),(T18) A \ (B )" C) =(A \ B) *" (A \ C).Równości (T17) i (T18) to prawa De Morgana (dla różnicy).Można postawić pytanie, ile daje się uzyskać zbiorów z danych nzbiorów stosując do nich operacje dodawania, mnożenia i odejmowa-nnia.Dowodzi się, że jest to liczba skończona i wynosi 22 161.5.4.6.Uogólnione suma i przecięcie zbiorów161Zob.Kuratowski, Mostowski [1978] s.39. 5.4.OPERACJE NA ZBIORACH 285Dotychczas omawialiśmy działania teoriomnogościowe na skoń-czonej liczbie zbiorów.Sumę i przecięcie można uogólnić na dowolnąrodzinę zbiorów.Niech X będzie niepustą przestrzenią (X = ").Niech (At)t"T bę-dzie rodziną podzbiorów przestrzeni X , gdzie T jest zbiorem (indek-sów).PRZYKAADNiech przestrzenią będzie zbiór liczb naturalnych N.Niech T bę-dzie zbiorem {1, 2, 3, 4, 5}.Niech(At)t"T = {n " N : t [ Pobierz całość w formacie PDF ]