[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Ponadto, dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:(T6) A )" B †" A,(T7) A )" B †" B,(T8) A †" B '" A †" C Ò! A †" B )" C,(T9) A †" B '" C †" D Ò! A )" C †" B )" D,(T10) A †" B Ô! A )" B = A.Dowiedzmy tylko (T10).DOWÓDOgraniczmy siÄ™ do dowodu tego, żeA )" B = A Ò! A †" B.Niech1.A )" B = A.Z 1 na podstawie definicji równoÅ›ci zbiorów:2.x " (A )" B) Ô! x " A.Z definicji przeciÄ™cia zbiorów: 282 5.ALGEBRA ZBIORÓW3.x " (A )" B) Ô! (x " A '" x " B).Z 2 i 3 mamy:4.(x " A '" x " B) Ô! x " A.TezÄ… rachunku logicznego jest:5.[(x " A '" x " B) Ô! x " A] Ò! (x " A Ò! x " B).Z 4 i 5 dostajemy:6.x " A Ò! x " B.Z definicji zawierania siÄ™ zbiorów i 6:7.A †" B.O dwóch zbiorach A i B mówimy, że sÄ… rozÅ‚Ä…czne, A ‡"†" B, wtedyitylko wtedy, gdy żaden element jednego ze zbiorów nie jest elementemdrugiego, czyli:(DEF.‡"†") (A ‡"†" B) Ô!¬"x.(x " A '" x " B).Zauważmy, że:(A ‡"†" B) Ô! (A )" B = ").5.4.4.Różnica i różnica symetryczna zbiorówRóżnicÄ… zbiorów A i B jest zbiór A \ B, którego elementami sÄ…wszystkie i tylko te elementyzbioru A, które nie sÄ… elementami zbioruB:(DEF.\) (A \ B) ={x "X : x " A '"¬x " B}.W sposób równoważny możemy to wyrazić:"x.[x " (A \ B) Ô! (x " A) '"¬(x " B)].Symbol \ to dwurgumentowa litera funkcyjna.Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:(T1) A \ B †" A,(T2) A †" B '" C †" D Ò! A \ D †" B \ C,(T3) C †" D Ò! A \ D †" A \ C,(T4) A †" B Ô! A \ B = ". 5.4.OPERACJE NA ZBIORACH 283.RóżnicÄ… symetrycznÄ… zbiorów A i B jest zbiór A B, którego ele-mentami sÄ… wszystkie i tylko te elementy zbioru A, które nie sÄ… ele-mentami zbioru B oraz wszystkie i tylko te elementy zbioru B, którenie sÄ… elementami zbioru A:.(DEF.) (A B) =[x "X : (x " A '"¬x " B) (" (¬x " A '" x " B)].Równoważnie możemy to zapisać:."x.[x " (A B) Ô! (x " A '"¬x " B) (" (¬x " A '" x " B)].Symbol to dwuargumentowa litera funkcyjna.Zauważmy, że.(A B) =(B A).5.4.5.ZwiÄ…zki miÄ™dzy dziaÅ‚aniami teoriomnogoÅ›cio-wymiOperacja dopeÅ‚nienia pozostaje w nastÄ™pujÄ…cych zwiÄ…zkach z in-nymi dziaÅ‚aniami teoriomnogoÅ›ciowymi.160Dla dowolnego zbioru A i przestrzeni X :(T1) -A = X \ A,(T2) A *"-A = X ,(T3) A )"-A = ".Dla dowolnych zbiorów A i B:(T4) -(A *" B) =-A )"-B,(T5) -(A )" B) =-A *"-B,(T6) A \ B = A )"-B,(T7) A \ B = -(-A *" B).RównoÅ›ci (T4) i (T5) to prawa De Morgana (rachunku zbiorów).Dla dowolnych zbiorów A, B i przestrzeni X :(T8) A †" B Ô! A )"-B = ",(T9) A †" B Ô!-A *" B = X.160Twierdzenia T2 i T3 można by nazwać, odpowiednio, teoriomnogoÅ›ciowymprawem wyÅ‚Ä…czonego Å›rodka i teoriomnogoÅ›ciowym prawem (nie)sprzecznoÅ›ci.Ist-nieje Å›cisÅ‚y zwiÄ…zek miÄ™dzy tymi (i innymi) prawami rachunku zbiorów a odpo-wiednimi prawami rachunku zdaÅ„: odrzucenie tych drugich wiąże siÄ™ z zakwestio-nowaniem tych pierwszych. 284 5.ALGEBRA ZBIORÓWNastÄ™pujÄ…ce prawa ustalajÄ… zwiÄ…zki miÄ™dzy dodawaniem a mno-żeniem zbiorów.Dla dowolnych zbiorów A, B i C:(T10) A )" (A *" B) =A,(T11) (A )" B) *" B = B,(T12) A )" (B *" C) =(A )" B) *" (A )" C),(T13) A *" (B )" C) =(A *" B) )" (A *" C).RównoÅ›ci (T10) i (T11) to prawa absorpcji (pochÅ‚aniania).Rów-ność (T12) to prawo rozdzielnoÅ›ci dodawania wzglÄ™dem mnożenia.Równość (T13) to prawo rozdzielnoÅ›ci mnożenia wzglÄ™dem dodawa-nia.ZwiÄ…zki miÄ™dzy różnicÄ… a sumÄ… okreÅ›lajÄ… nastÄ™pujÄ…ce prawa.Dla dowolnych zbiorów A i B:(T14) A *" (B \ A) =A *" B,(T15) A †" B Ò! A *" (B \ A) =B.Kolejne prawo pozwala okreÅ›lić przeciÄ™cie za pomocÄ… różnicy.Dla dowolnych zbiorów A i B:(T16) A \ (A \ B) =A )" B.MiÄ™dzy różnicÄ… a dodawaniem i mnożeniem zbiorów zachodzÄ…nastÄ™pujÄ…ce zwiÄ…zki.Dla dowolnych zbiorów A, B, C:(T17) A \ (B *" C) =(A \ B) )" (A \ C),(T18) A \ (B )" C) =(A \ B) *" (A \ C).RównoÅ›ci (T17) i (T18) to prawa De Morgana (dla różnicy).Można postawić pytanie, ile daje siÄ™ uzyskać zbiorów z danych nzbiorów stosujÄ…c do nich operacje dodawania, mnożenia i odejmowa-nnia.Dowodzi siÄ™, że jest to liczba skoÅ„czona i wynosi 22 161.5.4.6.Uogólnione suma i przeciÄ™cie zbiorów161Zob.Kuratowski, Mostowski [1978] s.39. 5.4.OPERACJE NA ZBIORACH 285Dotychczas omawialiÅ›my dziaÅ‚ania teoriomnogoÅ›ciowe na skoÅ„-czonej liczbie zbiorów.SumÄ™ i przeciÄ™cie można uogólnić na dowolnÄ…rodzinÄ™ zbiorów.Niech X bÄ™dzie niepustÄ… przestrzeniÄ… (X = ").Niech (At)t"T bÄ™-dzie rodzinÄ… podzbiorów przestrzeni X , gdzie T jest zbiorem (indek-sów).PRZYKAADNiech przestrzeniÄ… bÄ™dzie zbiór liczb naturalnych N.Niech T bÄ™-dzie zbiorem {1, 2, 3, 4, 5}.Niech(At)t"T = {n " N : t [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ]
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl centka.pev.pl
.Ponadto, dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:(T6) A )" B †" A,(T7) A )" B †" B,(T8) A †" B '" A †" C Ò! A †" B )" C,(T9) A †" B '" C †" D Ò! A )" C †" B )" D,(T10) A †" B Ô! A )" B = A.Dowiedzmy tylko (T10).DOWÓDOgraniczmy siÄ™ do dowodu tego, żeA )" B = A Ò! A †" B.Niech1.A )" B = A.Z 1 na podstawie definicji równoÅ›ci zbiorów:2.x " (A )" B) Ô! x " A.Z definicji przeciÄ™cia zbiorów: 282 5.ALGEBRA ZBIORÓW3.x " (A )" B) Ô! (x " A '" x " B).Z 2 i 3 mamy:4.(x " A '" x " B) Ô! x " A.TezÄ… rachunku logicznego jest:5.[(x " A '" x " B) Ô! x " A] Ò! (x " A Ò! x " B).Z 4 i 5 dostajemy:6.x " A Ò! x " B.Z definicji zawierania siÄ™ zbiorów i 6:7.A †" B.O dwóch zbiorach A i B mówimy, że sÄ… rozÅ‚Ä…czne, A ‡"†" B, wtedyitylko wtedy, gdy żaden element jednego ze zbiorów nie jest elementemdrugiego, czyli:(DEF.‡"†") (A ‡"†" B) Ô!¬"x.(x " A '" x " B).Zauważmy, że:(A ‡"†" B) Ô! (A )" B = ").5.4.4.Różnica i różnica symetryczna zbiorówRóżnicÄ… zbiorów A i B jest zbiór A \ B, którego elementami sÄ…wszystkie i tylko te elementyzbioru A, które nie sÄ… elementami zbioruB:(DEF.\) (A \ B) ={x "X : x " A '"¬x " B}.W sposób równoważny możemy to wyrazić:"x.[x " (A \ B) Ô! (x " A) '"¬(x " B)].Symbol \ to dwurgumentowa litera funkcyjna.Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D:(T1) A \ B †" A,(T2) A †" B '" C †" D Ò! A \ D †" B \ C,(T3) C †" D Ò! A \ D †" A \ C,(T4) A †" B Ô! A \ B = ". 5.4.OPERACJE NA ZBIORACH 283.RóżnicÄ… symetrycznÄ… zbiorów A i B jest zbiór A B, którego ele-mentami sÄ… wszystkie i tylko te elementy zbioru A, które nie sÄ… ele-mentami zbioru B oraz wszystkie i tylko te elementy zbioru B, którenie sÄ… elementami zbioru A:.(DEF.) (A B) =[x "X : (x " A '"¬x " B) (" (¬x " A '" x " B)].Równoważnie możemy to zapisać:."x.[x " (A B) Ô! (x " A '"¬x " B) (" (¬x " A '" x " B)].Symbol to dwuargumentowa litera funkcyjna.Zauważmy, że.(A B) =(B A).5.4.5.ZwiÄ…zki miÄ™dzy dziaÅ‚aniami teoriomnogoÅ›cio-wymiOperacja dopeÅ‚nienia pozostaje w nastÄ™pujÄ…cych zwiÄ…zkach z in-nymi dziaÅ‚aniami teoriomnogoÅ›ciowymi.160Dla dowolnego zbioru A i przestrzeni X :(T1) -A = X \ A,(T2) A *"-A = X ,(T3) A )"-A = ".Dla dowolnych zbiorów A i B:(T4) -(A *" B) =-A )"-B,(T5) -(A )" B) =-A *"-B,(T6) A \ B = A )"-B,(T7) A \ B = -(-A *" B).RównoÅ›ci (T4) i (T5) to prawa De Morgana (rachunku zbiorów).Dla dowolnych zbiorów A, B i przestrzeni X :(T8) A †" B Ô! A )"-B = ",(T9) A †" B Ô!-A *" B = X.160Twierdzenia T2 i T3 można by nazwać, odpowiednio, teoriomnogoÅ›ciowymprawem wyÅ‚Ä…czonego Å›rodka i teoriomnogoÅ›ciowym prawem (nie)sprzecznoÅ›ci.Ist-nieje Å›cisÅ‚y zwiÄ…zek miÄ™dzy tymi (i innymi) prawami rachunku zbiorów a odpo-wiednimi prawami rachunku zdaÅ„: odrzucenie tych drugich wiąże siÄ™ z zakwestio-nowaniem tych pierwszych. 284 5.ALGEBRA ZBIORÓWNastÄ™pujÄ…ce prawa ustalajÄ… zwiÄ…zki miÄ™dzy dodawaniem a mno-żeniem zbiorów.Dla dowolnych zbiorów A, B i C:(T10) A )" (A *" B) =A,(T11) (A )" B) *" B = B,(T12) A )" (B *" C) =(A )" B) *" (A )" C),(T13) A *" (B )" C) =(A *" B) )" (A *" C).RównoÅ›ci (T10) i (T11) to prawa absorpcji (pochÅ‚aniania).Rów-ność (T12) to prawo rozdzielnoÅ›ci dodawania wzglÄ™dem mnożenia.Równość (T13) to prawo rozdzielnoÅ›ci mnożenia wzglÄ™dem dodawa-nia.ZwiÄ…zki miÄ™dzy różnicÄ… a sumÄ… okreÅ›lajÄ… nastÄ™pujÄ…ce prawa.Dla dowolnych zbiorów A i B:(T14) A *" (B \ A) =A *" B,(T15) A †" B Ò! A *" (B \ A) =B.Kolejne prawo pozwala okreÅ›lić przeciÄ™cie za pomocÄ… różnicy.Dla dowolnych zbiorów A i B:(T16) A \ (A \ B) =A )" B.MiÄ™dzy różnicÄ… a dodawaniem i mnożeniem zbiorów zachodzÄ…nastÄ™pujÄ…ce zwiÄ…zki.Dla dowolnych zbiorów A, B, C:(T17) A \ (B *" C) =(A \ B) )" (A \ C),(T18) A \ (B )" C) =(A \ B) *" (A \ C).RównoÅ›ci (T17) i (T18) to prawa De Morgana (dla różnicy).Można postawić pytanie, ile daje siÄ™ uzyskać zbiorów z danych nzbiorów stosujÄ…c do nich operacje dodawania, mnożenia i odejmowa-nnia.Dowodzi siÄ™, że jest to liczba skoÅ„czona i wynosi 22 161.5.4.6.Uogólnione suma i przeciÄ™cie zbiorów161Zob.Kuratowski, Mostowski [1978] s.39. 5.4.OPERACJE NA ZBIORACH 285Dotychczas omawialiÅ›my dziaÅ‚ania teoriomnogoÅ›ciowe na skoÅ„-czonej liczbie zbiorów.SumÄ™ i przeciÄ™cie można uogólnić na dowolnÄ…rodzinÄ™ zbiorów.Niech X bÄ™dzie niepustÄ… przestrzeniÄ… (X = ").Niech (At)t"T bÄ™-dzie rodzinÄ… podzbiorów przestrzeni X , gdzie T jest zbiorem (indek-sów).PRZYKAADNiech przestrzeniÄ… bÄ™dzie zbiór liczb naturalnych N.Niech T bÄ™-dzie zbiorem {1, 2, 3, 4, 5}.Niech(At)t"T = {n " N : t [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ]